Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx（a＞0）．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，e]上的單調(diào)性（e為自然對(duì)數(shù)的底）；
（2）記f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)g（x）=x³-

a

2

x²+x²f′（x）在區(qū)間（

1

2

，3）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)a與e的關(guān)系，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）先求出g（x），再求導(dǎo)，函數(shù)g（x）有極值等價(jià)于關(guān)于x的方程3x²-ax+1=0在區(qū)間（

1

2

，3）上有異號(hào)實(shí)根，繼而求得a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

x

+lnx（a＞0）．
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
若0＜a＜e，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，a]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（a，e）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（a，e]上單調(diào)遞增，
若a≥e，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減．
（2）g（x）=x³-

a

2

x²+x²f′（x）=x³-

a

2

x²+x-a
∴g′（x）=3x²-ax+1
∵函數(shù)g（x）=x³-

a

2

x²+x²f′（x）在區(qū)間（

1

2

，3）上存在極值，
等價(jià)于關(guān)于x的方程3x²-ax+1=0在區(qū)間（

1

2

，3）上有異號(hào)實(shí)根，
∵a=

3x2+1

x

，
又a=3x+

1

x

在（

1

2

，

3

3

）上單調(diào)遞增，在（

3

3

，3）上單調(diào)遞增，
∴2

3

≤a＜

28

3

，
當(dāng)a=2

3

時(shí)，g′（x）=（

3

-1）²≥不存在極值，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2

3

，

28

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系，以及求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．