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19.已知數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)S2n=an(Sn-12),求證:{1Sn}是等差數(shù)列.

分析 把“當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1”代入Sn2=an(Sn-12)化簡(jiǎn),由等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{1Sn}是等差數(shù)列.

解答 證明:∵當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1,且Sn2=an(Sn-12),
Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-12 ),
Sn2=Sn2-12Sn-SnSn-1+12Sn-1,
即Sn-1-Sn=2SnSn-1
兩邊同除以SnSn-1 得,1Sn-1Sn1=2,
又a1=1,則1S1=1,
∴數(shù)列{1Sn}是以1為首項(xiàng)、以2為公差的等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系,利用等差數(shù)列的定義確定等差關(guān)系,考查化簡(jiǎn)、變形能力.

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