Question

20．在Rt△AOB中，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$，AB邊上的高線為OD，點E位于線段OD上，若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{3}{4}$，則向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$
• D． 1或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得∠AOB為直角，建立平面直角坐標系，利用三角形相似，求出AD的值，可得D、E的坐標，由$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$求得λ的值，再求向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影．

解答 解：Rt△AOB中，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=5，
∵AB邊上的高線為OD，點E位于線段OD上，
建立平面直角坐標系，如圖所示；
則A（$\sqrt{5}$，0）、B（0，2$\sqrt{5}$）、設D（m，n），
則△OAD∽△BAO，
∴$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AD}{OA}$，
∴AD=1，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$，
即（m-$\sqrt{5}$，n）=$\frac{1}{5}$（-$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），
求得m=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，n=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴D（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
則$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OD}$=λ（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ），
$\overrightarrow{EA}$=（$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ）；
∵$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ•（$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ）-${（\frac{2\sqrt{5}}{5}λ）}^{2}$=$\frac{3}{4}$，
解得λ=$\frac{3}{4}$或λ=$\frac{1}{4}$；
∴向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影為
ED=|$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OE}$|=|（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）-（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ）|
=|（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$（1-λ），$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（1-λ））|．
當λ=$\frac{3}{4}$時，ED=|（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{10}$）|=$\frac{1}{2}$；
當λ=$\frac{1}{4}$時，ED=|（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3\sqrt{5}}{10}$）|=$\frac{3}{2}$．
即向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影為$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數量積的定義，是綜合性題目．