Question

已知f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，若x＞0時，f（x）=x³-

1

x-3

，則f（x）在R上的解析式是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）在R上是奇函數(shù)，所以f（0）=0，要求f（x）在R上的解析式還需求x＜0時f（x）解析式：設(shè)x＜0，-x＞0，所以f（-x）=-x3-

1

-x-3

=-f(x)，所以這即可求出x＜0的解析式，所以最后分段寫出f（x）在R上的解析式即可．

解答： 解：設(shè)x＜0，-x＞0，則：
f（-x）=(-x)3-

1

-x-3

=-x3+

1

x+3

=-f（x）；
∴f（x）=x3-

1

x+3

；
又f（0）=0；
∴f（x）在R上的解析式為：f（x）=

x3- 1 x+3 x＜0 0 x=0 x3- 1 x-3 x＞0

．
故答案為：f(x)=

x3- 1 x+3 x＜0 0 x=0 x3- 1 x-3 x＞0

．

點評：考查奇函數(shù)的定義，已知x＞0的f（x）的解析式求x＜0的f（x）解析式的方法，奇函數(shù)定義域包括x=0時，f（0）=0，以及分段函數(shù)的概念及表示．