Question

如圖，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P為AB邊上一動點，PD∥BC，P為AB邊上一動點，PD∥BC交AC于點D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（1）當棱錐A′-PBCD的體積最大時，求PA的長；
（2）若點P為AB的中點，E為A′C的中點，求證：A′B⊥DE．

Answer 1

解：（1）令PA=x（0＜x＜2），則A′P=PD=x．BP=2-x，因為A′P⊥PD
且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD，所以
令f（x）=，由f′（x）=得x=，
當x∈（0，）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以，當x=時，f（x）取得最大值，
即：體積最大時，PA=．

（2）設F為A′B的中點，連接PF，F(xiàn)E，則有EF∥BC，EF=BC，PD∥BC，PD=BC，
所以DE∥PF，又A′P=PB，所以PF⊥A′B．
故DE⊥A′B
分析：（1）令PA=x（0＜x＜2）求出體積表達式，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值．
（2）設F為A′B的中點，連接PF，F(xiàn)E，通過PDEF是平行四邊形，證明A′B⊥DE．
點評：本題是中檔題，考查幾何體的體積計算，函數(shù)最大值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力．