Question

已知向量

a

=(cosωx，sinωx)，

b

=(-2cosωx，2

3

cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

+

a

2（x∈R）的圖象關(guān)于點(

π

12

，0)中心對稱，其中ω為常數(shù)，且0＜ω＜2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若方程2f（x）-a+1=0在x∈[0，

π

2

]上無解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于點（

π

12

，0）對稱，
得到f（

π

12

）=0，求出k與ω的值，即可確定出f（x）的最小正周期；
（II）求出函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

），在區(qū)間[-

π

6

，

5π

6

]上的值域，再根據(jù)方程2f（x）-a+1=0在x∈[0，

π

2

]上無解求得a滿足的條件，從而求得a的取值范圍．

解答： （I）解：由題意得，f（x）=

a

•

b

+

a

2=-2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+cos²ωx+sin²ωx=

3

sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-

π

6

）
∴f(x)=2sin(2ωx-

π

6

)

ωπ

6

-

π

6

=kπ⇒ω=6k+1，k∈z，∵0＜ω＜2，∴ω=1，
f（x）=2sin（2x-

π

6

），
最小正周期T=π，
（II）f(x)=2sin(2x-

π

6

)
當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴f（x）∈[-1，2]，即-2≤2f（x）≤4
∵方程2f（x）-a+1=0在x∈[0，

π

2

]上無解，
即：a-1=2f（x），在-2≤2f（x）≤4時，無解，
∴a-1＞4或a-1＜-2，即a＞5或a＜-1，
所以a＞5或a＜-1．

點評：本題考查了向量坐標運算，兩角差的正弦函數(shù)公式，考查了三角函數(shù)的最小周期及求法，以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的值域及求法，把函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵，本題體現(xiàn)了函數(shù)思想．