Question

在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，AB=2，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD為正三角形，E為AD中點，M為線段PC上的一點．
（1）若M為PC中點，求證：ME∥平面PAB；
（2）若二面角M-EB-C的平面角為60°，求直線AB與平面MEB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點M，連接MN，NE，通過證線線平行證明平面MNE∥平面PAB，由面面平行的性質可得線面平行；
（2）建立空間直角坐標系，給出相關點的坐標，設出平面MEB的法向量，利用二面角M-EB-C的平面角為60°，求出平面MEB的法向量，再利用向量坐標運算求直線AB與平面MEB所成角的余弦值．

解答：解：（1）取BC的中點M，連接MN，NE，
∵MN∥PB，MN?平面PAB，PB?平面PAB，
∴MN∥平面PAB
∵EN∥AB，EN?平面PAB，AB?平面PAB，
∴NE∥平面PAB，又MN∩NE=N
∴平面MNE∥平面PAB，ME?平面MNE
∴MN∥平面PAB
（2）連接PE，∵△PAD為正三角形，∴PE⊥AD，
∵四邊形ABCD為菱形，AB=2，∠DAB=60°，E為AD的中點，AE=1，∴BE⊥AD，
建立空間直角坐標系如圖，得E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，

3

，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

），C（-2，

3

，0），
設

PM

=λ

PC

=（-2λ，

3

λ，-

3

λ），∴M（-2λ，

3

λ，-

3

λ+

3

），

EM

=（-2λ，

3

λ，-

3

λ+

3

）

EB

=（0，

3

，0），設平面MEB的法向量

n

=（a，b，c），
由

EB

•

n

=

3

b=0⇒b=0，由

EM

•

n

=-2λa-

3

λc+

3

λ=0⇒a=

3 (1-λ)

2λ

c，
平面EBC的法向量

m

=（0，0，1），設

n

=（

3

-

3

λ，0，2λ）
∵二面角M-EB-C的平面角為60°
∴cos＜

m

，

n

＞=

2λ

1× 3(1-λ)2+4λ2

=

1

2

，解得λ=

1

3

或-1（舍去），
此時，

n

=（

2 3

3

，0，

2

3

），

AB

=（-1，

3

，0），
cos＜

n

，

AB

＞=

- 2 3 3

2× 16 9

=-

3

4

，
所以，所求角的余弦值為

3

4

．

點評：本題主要考查了用向量方法求直線與平面所成的角、求二面角的余弦值，考查了線面平行的判定，解題的關鍵是利用二面角M-EB-C的大小，求平面MEB的法向量．