Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+bx²+x+3，其中a≠0．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f（x）存在極值？
（2）若a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增加的，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=ax²+2bx+1，由函數(shù)f（x）存在極值知ax²+2bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而求得；
（2）要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增加的，需使f′（x）=x²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立；故b≥-

x

2

-

1

2x

在（0，1]上恒成立，設(shè)g（x）=-

x

2

-

1

2x

，從而化為函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）由已知得，f′（x）=ax²+2bx+1，
由函數(shù)f（x）存在極值知，
ax²+2bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故△=4b²-4a＞0，
故b²＞a；
即滿足b²＞a時(shí)，函數(shù)f（x）存在極值；
（2）由題意，f（x）=

1

3

x³+bx²+x+3，f′（x）=x²+2bx+1；
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增加的，
需使f′（x）=x²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立；
故b≥-

x

2

-

1

2x

在（0，1]上恒成立，
設(shè)g（x）=-

x

2

-

1

2x

，則g′（x）=

1

2x2

-

1

2

≥0，
故g（x）=-

x

2

-

1

2x

在（0，1]上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，g_max（x）=g（1）=-1；
故b≥-1；
即實(shí)數(shù)b的取值范圍為[-1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．