Question

7．已知橢圓x²+2y²=8的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A為橢圓上的任意一點，AP是∠F₁AF₂的外角平分線，且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，則點P的坐標一定滿足（　　）

• A． x²+y²=8
• B． x²+y²=1
• C． x²-y²=1
• D． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求出橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），可設A（0，2），P（x，y），由已知條件求出x=y=2．從而得到點P的坐標一定滿足x²+y²=8．

解答 解：∵橢圓x²+2y²=8的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A為橢圓上的任意一點，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
可設A（0，2），P（x，y），則$\overrightarrow{AP}$=（x，y-2），$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=（2，-2），$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（2，2），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（x-2，y），
∵AP是∠F₁AF₂的外角平分線，且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（x，y-2）•（x-2，y）=x²-2x+y²-2y=0，①
cos＜$\overrightarrow{A{F}_{2}}，\overrightarrow{AP}$＞=cos＜$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，$\overrightarrow{AP}$＞，即$\frac{2x-2y+4}{2\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}}$=$\frac{2x+2y-4}{2\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}}$，②
①②聯(lián)立，解得x=y=2．
∴點P的坐標一定滿足x²+y²=8．
故選：A．

點評 本題考查點的坐標滿足的方程的確定的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、直線的性質的合理運用，注意特殊值法在選擇題中的合理運用．