Question

給定橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，稱圓C₁：x²＋y²＝a²＋b²為橢圓C的“伴隨圓”．已知橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(0，1)．

    （1）求實數(shù)a，b的值；

    （2）若過點P(0，m)(m＞0)的直線l與橢圓C有且只有一個公共點，且l被橢圓C的伴隨圓C₁所截得的弦長為2，求實數(shù)m的值．

Answer 1

解：（1）記橢圓C的半焦距為c．

由題意，得b＝1，＝，c²＝a²＋b²，

解得a＝2，b＝1．                  

（2）由（1）知，橢圓C的方程為＋y²＝1，圓C₁的方程為x²＋y²＝5．

顯然直線l的斜率存在．

設直線l的方程為y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．   

因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，

故方程組    （*）  有且只有一組解．

由（*）得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0．

從而△＝(8km)²－4(1＋4k²)( 4m²－4)＝0．

化簡，得m²＝1＋4k²．①                  

因為直線l被圓x²＋y²＝5所截得的弦長為2，

所以圓心到直線l的距離d＝＝．

即＝．    ②                   

由①②，解得k²＝2，m²＝9．          

因為m＞0，所以m＝3．