Question

18．已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合，且兩個坐標(biāo)系的單位長度相同，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosa}\\{y=1+tsina}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交弦長為$2\sqrt{3}$，求直線l的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線l與曲線C的普通方程，聯(lián)立可得直角坐標(biāo)方程，即可求直線l與曲線C交點的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交弦長為$2\sqrt{3}$，C：（x-2）²+y²=4，$d=\sqrt{{2^2}-{{（\frac{{2\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=1$，即可求直線l的參數(shù)方程．

解答 解：（Ⅰ）直線l的方程：y-1=-1（x+1），即y=-x，
C：ρ=4cos θ，即x²+y²-4x=0，
聯(lián)立方程得2x²-4x=0，
∴A（0，0），B（2，-2）；極坐標(biāo)為A（0，0），B$（2\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$．
（Ⅱ） C：（x-2）²+y²=4，$d=\sqrt{{2^2}-{{（\frac{{2\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=1$，
設(shè)直線l的方程為kx-y+k+1=0，
∴$\frac{{|{2k+k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，∴k=0或k=$-\frac{3}{4}$．
∴l(xiāng)：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{4}{5}t}\\{y=1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．

點評 本題考查方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．