Question

3．一塊長為a、寬為$\frac{a}{2}$的長方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒．
（Ⅰ）試把方盒的容積V表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）試求方盒容積V的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出方盒的長、寬、高，求出方盒的體積即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，折成無蓋方盒的長為a-2x、寬為$\frac{a}{2}-2x$、高為x，
故體積$y=V（x）=（a-2x）（\frac{a}{2}-2x）x=4{x^3}-3a{x^2}+\frac{a^2}{2}x，（0＜x＜\frac{a}{4}）$，其中常數(shù)a＞0；（5分）
（Ⅱ）由$y'=12{x^2}-6ax+\frac{a^2}{2}=0$（6分）得$x=\frac{{3±\sqrt{3}}}{12}a$，（7分）
在定義域內(nèi)列極值分布表（10分）

x	（0，$\frac{{3-\sqrt{3}}}{12}a$）	$\frac{{3-\sqrt{3}}}{12}a$	$（\frac{{3-\sqrt{3}}}{12}a，\frac{a}{4}）$
f’（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)增	極大值	單調(diào)減

∴$V{（x）_{max}}=f（\frac{{3-\sqrt{3}}}{12}a）=\frac{{\sqrt{3}}}{72}{a^3}$．（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．