Question

已知向量

a

=(sinθ，cosθ-2sinθ)，

b

=(1，2)．
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若|

a

|=|

b

|，(0＜θ＜π)，求θ的值；
（3）設(shè)

c

=(1，1+2sinθ)，若f(θ)=|

a

+

c

|2+sin2θ，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)可得 2sinθ=cosθ-2sinθ，由此求得tanθ=

1

4

．
（2）由|

a

|=|

b

|，化簡(jiǎn)可得-sinθcosθ=cos²θ，故 cosθ=0，或 sinθ=-cosθ，由此求得θ的值．
（3）化簡(jiǎn)f（θ）=3+2（sinθ+cosθ）+sin2θ，令t=sinθ+cosθ，t∈[-

2

，

2

]，則 f（t）=t²+2t+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（θ）的值域．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，∴2sinθ=cosθ-2sinθ，∴tanθ=

1

4

．
（2）∵|

a

|=|

b

|，∴sin²θ+（cosθ-2sinθ）²=5，化簡(jiǎn)可得-sinθcosθ=cos²θ，
∴cosθ=0，或 sinθ=-cosθ．
再由 0＜θ＜π 可得  θ=

π

2

或

3π

4

．
（3）f（θ）=（sinθ+1）²+（cosθ+1）²+sin2θ
=3+2（sinθ+cosθ）+sin2θ，
令t=sinθ+cosθ，t∈[-

2

，

2

]，則有f（t）=t²+2t+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)t=-1時(shí)，f（t）有最小值1，當(dāng)t=

2

時(shí)，f（t）有最大值4+2

2

，
故 f(t)∈[1，4+2

2

]，故f（θ）的值域?yàn)?[1，4+2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．