Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=

8

an•an+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式x²+mx+m≥S_n恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，
∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，即2，2+d，2+4d成等比數(shù)列，
∴（2+d）²=2（2+4d），即d²=4d，解得d=0或d=4，
∵公差d不為0，∴d=4．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+4（n-1）=4n-2，
即的通項(xiàng)公式為a_n=4n-2．
（Ⅱ）∵

bn= 8 an•an+1 = 8 (4n-2)(4n+2) = 2 (2n-1)(2n+1) = 1 2n-1 - 1 2n+1

∴S_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

＜1，
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式x²+mx+m≥S_n恒成立，
即x²+mx+m≥1，則（x+1）（x-1+m）≥0，
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x+1＞0，
∴不等式等價(jià)為x-1+m≥0，
即m≥1-x在x∈[2，4]時(shí)恒成立，
∵1-x∈[-3，-1]
即m≥-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和，要求熟練掌握裂項(xiàng)法求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．