Question

記空間向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，其中

a

，

b

，

c

均為單位向量．若

a

⊥

b

，且

c

與

a

，

b

的夾角均為θ，θ∈[0，π]．有以下結(jié)論：
①

c

⊥（

a

-

b

）；
②直線OC與平面OAB所成角等于向量

c

與

a

+

b

的夾角；
③若向量

a

+

b

所在直線與平面ABC垂直，則θ=60°；
④當(dāng)θ=90°時(shí)，P為△ABC內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，若向量

OP

與

a

+

b

+

c

夾角的余弦值為

6

3

，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓．
其中，正確的結(jié)論有

 

（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：①

c

•（

a

-

b

）=

c

•

a

-

c

•

b

=cosθ-cosθ=0，可得

c

⊥（

a

-

b

）；
②當(dāng)θ∈(

π

2

，π]時(shí)，直線OC與平面OAB所成角的補(bǔ)角等于向量

c

與

a

+

b

的夾角，即可判斷出正誤；
③向量

a

+

b

所在直線OD與平面ABC垂直于點(diǎn)D，又BC=AC，D為AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，可得OD⊥CD，可得AC=1=OC=OA，可得θ=60°，即可判斷出正誤；
④補(bǔ)全正方體，對(duì)角線OD與平面ABC相交于點(diǎn)M，點(diǎn)M為等邊三角形的中心，可得OM=

3

3

，OP=

2

2

，MP=

6

6

．即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，點(diǎn)M為圓心，MP為半徑的圓．

解答： 解：①∵

c

•（

a

-

b

）=

c

•

a

-

c

•

b

=cosθ-cosθ=0，∴

c

⊥（

a

-

b

），正確；
②當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，直線OC與平面OAB所成角等于向量

c

與

a

+

b

的夾角；當(dāng)θ∈(

π

2

，π]時(shí)，直線OC與平面OAB所成角的補(bǔ)角等于向量

c

與

a

+

b

的夾角，因此不正確；
③向量

a

+

b

所在直線OD與平面ABC垂直于點(diǎn)D，又BC=AC，D為AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，∴OD⊥CD，又OD=DA=

2

2

=CD，∴AC=1=OC=OA，則θ=60°，正確；
④當(dāng)θ=90°時(shí)，P為△ABC內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，補(bǔ)全正方體，對(duì)角線OD與平面ABC相交于點(diǎn)M，點(diǎn)M為等邊三角形的中心，OM=

1

3

OD=

3

3

，
∵向量

OP

與

a

+

b

+

c

（即與

OD

）的夾角的余弦值為

6

3

，∴OP=

OM

6 3

=

2

2

，∴MP=

OP2-OM2

=

6

6

．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，點(diǎn)M為圓心，MP為半徑的圓，因此正確．
其中，正確的結(jié)論有①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、空間線面位置關(guān)系、空間角、正方體的性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．