Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-3
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[-

3

2

，2]上的最值；
（2）若函數(shù)f（x）在[-

3

2

，2]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）當a=1時 f(x)=x2+x-3=(x+

1

2

)2-

13

4

，x∈[-

3

2

，2]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最值．
（2）由于函數(shù)圖象的對稱軸為 x=-

2a-1

2

，分對稱軸比較靠近所給區(qū)間的左側(cè)、右側(cè)兩種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)、以及f（x）在[-

3

2

，2]上的最大值為1，求得實數(shù)a的值．

解答： 解：（1）當a=1時 f(x)=x2+x-3=(x+

1

2

)2-

13

4

，x∈[-

3

2

，2]，
故當x=-

1

2

時，函數(shù)取得最小值為-

13

4

；當x=2時，函數(shù)取得最大值為3．
（2）由于函數(shù)圖象的對稱軸為 x=-

2a-1

2

，當-

2a-1

2

＜

- 3 2 +2

2

=

1

4

 時，即a＞

1

4

時，
則當x=2時，函數(shù)取得最大值為4a-1=1，解得a=

1

2

．
當

1

4

≤-

2a-1

2

時，即a≤

1

4

 時，則當x=-

3

2

時，函數(shù)取得最大值為

3

4

-3a=1，求得 a=-

1

12

．
綜上可得，a=

1

2

，或 a=-

1

12

．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬基礎題．