Question

已知f（n）=1-

1

4n

，求證：f（1）f（2）f（3）…f（n）＞

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題可以用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）＞

1

2

（1+

1

4n

）成立，再用放縮法得到原命題成立．

解答： 證明：先運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，證：（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）＞

1

2

（1+

1

4n

）（n∈N⁺）
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-

1

4

=

3

4

，右邊=

1

2

(1+

1

4

）=

5

8

，左邊大于右邊，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即有（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4k

）＞

1

2

(1+

1

4k

)，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4k

）（1-

1

4k+1

）
＞

1

2

(1+

1

4k

)（1-

1

4k+1

）=

1

2

（1+

1

4k

-

1

4k+1

-

1

42k+1

）＞

1

2

（1+

1

4k+1

）．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合①②，可得：（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）＞

1

2

（1+

1

4n

）對(duì)一切n∈N⁺都成立，
則：（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）＞

1

2

（1+

1

4n

）＞

1

2

，
即有原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法和放縮法，本題的難點(diǎn)在于構(gòu)造的一個(gè)不等式的呈現(xiàn)，思維難度大，屬于難題．