Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接借助于降冪公式和二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可；
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx．
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴函數(shù)f（x的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z，
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

時(shí)f（x）的最小值為0；
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)f（x）的最大值為3；
∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

上的值域?yàn)閇0，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了降冪公式和二倍角公式，輔助角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性等，屬于中檔題．