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6.已知函數(shù)f(x)=12x2-(a+1)x+alnx+1.
(Ⅰ)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由于x=3是f(x)的極值點(diǎn),則f′(3)=0求出a,進(jìn)而求出f′(x)>0得到函數(shù)的增區(qū)間,求出f′(x)<0得到函數(shù)的減區(qū)間即可;
(Ⅱ)由于f(x)≥1恒成立,即x>0時(shí),12x2-(a+1)x+alnx≥0恒成立,設(shè)g(x)=12x2-(a+1)x+alnx,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類(lèi)討論參數(shù)a,得到函數(shù)g(x)的最小值≥0,即可得到a的范圍.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=x-(a+1)+ax
∵x=3是f(x)的極值點(diǎn),
∴f′(3)=3-(a+1)+a3=0,解得a=3,
當(dāng)a=3時(shí),f′(x)=x1x3x
當(dāng)x變化時(shí),

x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)遞增極大值遞減極小值遞增
故f(x)在(0,1)遞增,在(1,3)遞減,在(3,+∞)遞增;
(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立,即x>0時(shí),12x2-(a+1)x+alnx≥0恒成立,
設(shè)g(x)=12x2-(a+1)x+alnx,則g′(x)=x-(a+1)+ax=x1xax
(�。┊�(dāng)a≤0時(shí),由g′(x)<0得單減區(qū)間為(0,1),
由g′(x)>0得單增區(qū)間為(1,+∞),
故g(x)min=g(1)=-a-12≥0,得a≤-12;
( ii)當(dāng)0<a<1時(shí),由g′(x)<0得單減區(qū)間為(a,1),
由g′(x)>0得單增區(qū)間為(0,a),(1,+∞),
此時(shí)g(1)=-a-12<0,∴不合題意;
( iii)當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(0,+∞)上單增,此時(shí)g(1)=-a-12<0,∴不合題意;
( iv)當(dāng)a>1時(shí),由g′(x)<0得單減區(qū)間為(1,a),
由g′(x)>0得單增區(qū)間為(0,1),(a,+∞),
此時(shí)g(1)=-a-12<0,∴不合題意.
綜上所述:a≤-12時(shí),f(x)≥1恒成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件.考查考生的運(yùn)算、推導(dǎo)、判斷能力.

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