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1.若函數(shù)f(x)=ax2+2x+blnx在x=1和x=2處取得極值,
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在[122]上的最大值和最小值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的極值得到關(guān)于a,b的方程組,解出即可;
(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的最值即可.

解答 解:(1)由題意fx=2ax+2+x,…(2分)
由f(x)在x=1和x=2處取得極值得{f1=2a+2+b=0f2=4a+2+2=0…(5分)
解得{a=13b=43…(7分)
(2)由(1)知fx=13x2+2x43lnx,故fx=23x+243x=2x1x23x
由f'(x)=0得x=1或x=2
[122]上當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)變化情況列表得

x1211(1,2)
f'(x)-0+
f(x)單調(diào)遞減極大值單調(diào)遞增
所以,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極大值f1=13+20=53
f12=112+143ln12=1112+43ln2,f2=43+443ln2=8343ln2
所以f(x)在[122]上的最大值為f1=53,最小值為f12=1112+43ln2…(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查極值的意義,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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