Question

【題目】已知函數與的圖象在它們的交點處具有相同的切線.

（1）求的解析式；

（2）若函數有兩個極值點，，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得兩個函數的導數，由公切線的斜率相同可得的方程；將切點代入兩個函數，可得的方程；聯立兩個方程即可求得的值，進而得的解析式；

（2）將的解析式代入并求得，由極值點定義可知，是方程的兩個不等實根，由韋達定理表示出，結合可得.代入中化簡，分離參數并構造函數，求得并令求得極值點，由極值點兩側符號判斷單調性，并求得最小值，代入端點值求得最大值，即可求得的取值范圍.

（1）根據題意，函數與

可知，，

兩圖象在點處有相同的切線，

所以兩個函數切線的斜率相等，即，化簡得，

將代入兩個函數可得，

綜合上述兩式可解得，

所以.

（2）函數，定義域為，

，

因為，為函數的兩個極值點，

所以，是方程的兩個不等實根，

由根與系數的關系知，，

又已知，所以，

，

將式代入得

，

令，，

，令，解得，

當時，，在單調遞減；

當時，，在單調遞增；

所以，

，

，

即的取值范圍是.