Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸上有一頂點到兩個焦點之間的距離分別為3和1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點（1，0）且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓E于M，N兩點，弦MN的垂直平分線與x軸相交于點D，設(shè)弦MN的中點為P，試求

|DP|

|MN|

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸上有一頂點到兩個焦點之間的距離分別為3和1，求出a，c，可得b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到線段MN的中點P的坐標(biāo)，利用弦長公式即可得到|MN|，利用點斜式即可得到線段MN的垂直平分線DP的方程，利用兩點間的距離公式或點到直線的距離公式即可得到|DP|，進而得出

|DP|

|MN|

的關(guān)于斜率k的表達式，即可得到其取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸上有一頂點到兩個焦點之間的距離分別為3和1．
∵a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b²=3a．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由題意得直線l的方程為y=k（x-1）．
與橢圓方程聯(lián)立得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

．
∴弦MN的中點P（

4k2

3+4k2

，-

3k

3+4k2

）．
∴|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

12(k2+1)

4k2+3

．
直線PD的方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

）．
∴|DP|=

3 k2(k2+1)

4k2+3

．
∴

|DP|

|MN|

=

1

4

1- 1 k2+1

．
又∵k²+1＞1，∴0＜

1

k2+1

＜1，
∴0＜

1

4

1- 1 k2+1

＜

1

4

．
∴

|DP|

|MN|

的取值范圍是（0，

1

4

）．

點評：熟練掌握直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、線段MN的中點坐標(biāo)公式、弦長公式、點斜式、線段的垂直平分線的方程、兩點間的距離公式或點到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．