Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a_n=（n+1）（

10

11

）ⁿ （n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}先遞增，后遞減；
（2）求數(shù)列{a_n}的最大項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

an+1

an

=

10

11

(1+

1

n+1

)，令a_n+1=a_n，解得n=9．對(duì)n分類討論，即可得出單調(diào)性；
（2）利用（1）的單調(diào)性即可得出最大項(xiàng)．

解答： （1）證明：

an+1

an

=

(n+2)( 10 11 )n+1

(n+1)( 10 11 )n

=

10

11

(1+

1

n+1

)，令a_n+1=a_n，解得n=9．
當(dāng)1≤n＜9時(shí)，∵1+

1

n+1

＞1+

1

10

=

11

10

，∴a_n+1＞a_n；
當(dāng)9＜n時(shí)，1+

1

n+1

單調(diào)遞減，∴1+

1

n+1

＜

11

10

，∴a_n＞a_n+1．．
∴數(shù)列{a_n}先遞增，后遞減．
（2）解：由（1）可知：a₉=a₁₀并且最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．