Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，且2S_n=a_n²+a_n．
（1）求a₁；
（2）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=

1

an•an+1

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，若對(duì)n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得2S₁=a₁²+a₁，a_n＞0，由此能求出a₁．
（2）由已知得a_n=S_n-S_n-1=an2+an -（an-12+an-1），從而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，進(jìn)而{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，得T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，從而

n

n+1

≤k(n+4)，由此利用基本不等式能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n，∴2S₁=a₁²+a₁，
又a_n＞0，解得a₁=1．…（2分）
（2）∵2S_n=a_n²+a_n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，…（3分）
∴a_n=S_n-S_n-1=an2+an -（an-12+an-1），…（4分）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，…（5分）
又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，…（6分）
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，…（7分）
故a_n=a₁+（n-1）d=n．…（8分）
（3）∵bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∵對(duì)n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，
∴

n

n+1

≤k(n+4)，
∴k≥

n

(n+1)(n+4)

=

n

n2+5n+4

=

1

n+ 4 n +5

，
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，等號(hào)成立，
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

，∴k≥

1

9

，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

1

9

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法和基本不等式的合理運(yùn)用，是中檔題．