Question

f（x）=lg

1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa

n

，其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的正自然數(shù)且n≥2，如果f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分離參數(shù)a＞-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，運(yùn)用函數(shù)y=（

k

n

）^x，k=1，2，3…n-1，在（-∞，1]上都是增函數(shù)
，y=-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，（-∞，1]上也是增函數(shù)，求解最值問題即可．

解答： 解：f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)有意義的條件是1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，
即a＞-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，
∵y=-（

k

n

）^x，k=1，2，3…n-1，在（-∞，1]上都是增函數(shù)，
∴y=-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，在（-∞，1]上也是增函數(shù)，
從而它在x=1時(shí)取得最大值-（

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

）=-

1

2

（n-1）．
所以a＞-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，成立．
n≥2
只需a＞-

1

2

，
故a的取值范圍是{a|a＞-

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，解決不等式恒成立問題時(shí)，注意根據(jù)單調(diào)性求解最值問題．