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15.如圖,已知正三棱柱ABC-A'B'C'棱長均為2,E為AB中點(diǎn).點(diǎn)D在側(cè)棱BB'上.
(Ⅰ)求AD+DC'的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)AD+DC'取最小值時(shí),在CC'上找一點(diǎn)F,使得EF∥面ADC'.

分析 (Ⅰ)將三棱柱的側(cè)面展開,由題意知當(dāng)D為BB′中點(diǎn)時(shí),AD+DC′最小,由此能求出AD+DC′的最小值.
(Ⅱ)過點(diǎn)E作EM∥AD交BB′于M,M為BD中點(diǎn),過點(diǎn)M作MF∥DC′交CC′于F,由面MEF∥面ADC′,得EF∥面ADC′.

解答 解:(Ⅰ)如圖,將三棱柱的側(cè)面展開,
由題意知當(dāng)D為BB′中點(diǎn)時(shí),AD+DC′最小,
最小值為d=42+22=25.(4分)
(Ⅱ)過點(diǎn)E作EM∥AD交BB′于M,所以M為BD中點(diǎn),(6分)
過點(diǎn)M作MF∥DC′交CC′于F,
CF=12,(10分)
∵EM∩MF=M,
∴面MEF∥面ADC′,∴EF∥面ADC′.(12分)

點(diǎn)評 本題考查兩線段和的最小值的求法,考查使直線與平面平行的點(diǎn)的位置的確定,空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題關(guān)鍵,是中檔題.

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