分析 (1)設(shè)P(x,y)為軌跡上任意一點(diǎn),則N(2x,2y),把N點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線E的方程化簡即可;
(2)設(shè)圓的切線斜率為k,得出切線方程,計(jì)算A,B的坐標(biāo),利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算|AB|,從而得出△QAB的面積關(guān)于x0的函數(shù),求出此函數(shù)的最小值即可.
解答 解:(1)設(shè)線段ON的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),則點(diǎn)N(2x,2y),
∵N為在拋物線y2=8x上的動(dòng)點(diǎn),
∴4y2=16x,即y2=4x,
∴曲線C的方程為:y2=4x.
(2)設(shè)切線方程為:y-y0=k(x-x0),
令y=0,得x=x0-y0k,
∴切線與x軸的交點(diǎn)為(x0-y0k,0),圓心(2,0)到切線的距離為d=|2k+y0−kx0|√1+k2=2,
∴(2k+y0-kx0)2=4(1+k2),
整理得:(x02-4x0)k2+(4y0-2x0y0)k+y02-4=0,
設(shè)兩條切線的斜率分別為k1,k2,則k1+k2=2x0y0−4y0x02−4x0,k1k2=y02−4x02−4x0,
∴S△QAB=12|(x0-y0k1)-(x0-y0k2)|•|y0|=12y02|k1−k2k1k2|=2x02x0−1=2[(x0-1)+1x0−1+2]
令x0-1=t,則f(t)=t+1t+2,t∈[4,+∞),
則f′(t)=1-1t2>0,
∴f(t)在[4,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(t)≥f(4)=254,∴S△QAB=2f(t)≥252,
∴△QAB的面積的最小值為252.
點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求法,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,常使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡計(jì)算,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | M=P | B. | M?P | ||
C. | P?M | D. | M與P沒有公共元素 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x225−y216=1 | B. | x225+y216=1 | ||
C. | x225−y216=1(x≠±5) | D. | x225+y216=1(x≠±5) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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