Question

（本小題滿分13分）已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且．（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知點A(m,2)在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率k₁、k₂滿足，試推斷：動直線DE是否過定點？證明你的結(jié)論。

Answer 1

（1）動點的軌跡的方程 （2）直線DE過定點(-1,-2)

（1）設(shè)，則，∵，
∴． ，
所以動點的軌跡的方程．                        ………５分
（2）將A(m,2)代入得m="1," ∴A(1,2)     …………………………６分
法一: ∵兩點不可能關(guān)于x軸對稱，∴DE不斜率必存在
設(shè)直線DE的方程為
由得
∴………………………８分
∵且
∴ …………………９分
將代入化簡得
…………………………………10分
將b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k(x+1)-2,過定點(-1,-2)…………11分
將b=2-k代入y=kx+b
得y=kx+2-k=k(x-1)+2,過定點(1,2)即為A點，舍去
∴直線DE過定點（-1，-2） …………………………………………13分
法二：設(shè)，(5分)則     ……７分
同理,由已知得
  …………9分
設(shè)直線DE的方程為x=ty+n代入
得     …………10分
∴,直線DE的方程為  …12分
即直線DE過定點(-1,-2)       ………13分