Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=14，a₇=20，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n=1，2，3，…，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出{a_n}的通項公式；由S_n=2ⁿ-1，得到S_n-1=2^n-1-1（n≥2），兩式相減推導(dǎo)出{b_n}是等比數(shù)列，由此能求出{b_n}的通項公式．
（2）c_n=a_n•b_n是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積，所以利用錯位相減的方法求出和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∵a₅=14，a₇=20，
∴a₁+4d=14，a₁+6d=20，
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-1．
∵S_n=2ⁿ-1①，
∴S_n-1=2^n-1-1（n≥2）②，
由①-②得b_n=2ⁿ（n≥2），
n=1時也成立，∴b_n=2ⁿ；
（2）c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ．
∴T_n=2•2+5•2²…+（3n-1）•2ⁿ，
2T_n=2•2²…+（3n-4）•2ⁿ+（3n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．