Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且滿足T_n=3b_n-2．
（1）求a_n和b_n；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)之和A_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，及a_n＞0可求得S_n，再由a_n與S_n的關(guān)系可求a_n；由b_n=T_n-T_n-1可得{b_n}的遞推式，由遞推式可求得b_n；
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得A_n．

解答： 解：（1）∵S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，及a_n＞0，得Sn=n2+n，
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=2，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n．
∴a_n=2n（n≥1），
又T_n=3b_n-2，得b_n=3b_n-3b_n-1，
∴2b_n=3b_n-1（n≥2），
又b₁=3b₁-2，∴b₁=1，
bn=(

3

2

)n-1．
（2）∵A_n=2+4×

3

2

+6×(

3

2

)2+…+2n(

3

2

)n-1，
∴

3

2

An=2×

3

2

+4×(

3

2

)2+6×(

3

2

)3+…+2n(

3

2

)n，
兩式相減得，-

1

2

An=2+2×

3

2

+2×(

3

2

)2+…+2×(

3

2

)n-1-2n(

3

2

)n=

2[( 3 2 )n-1]

3 2 -1

-2n(

3

2

)n，
∴A_n=（4n-8）•(

3

2

)n+8．

點(diǎn)評(píng)：該題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，錯(cuò)位相減法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．