Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，前5項(xiàng)和前10項(xiàng)的和分別為25和100．?dāng)?shù)列{b_n}中，b_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+1．
（1）求a_n、b_n；
（2）設(shè)T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=2n-1．由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出b_n=2ⁿ．
（2）由T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，利用錯(cuò)位相減法能求出T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，前5項(xiàng)和前10項(xiàng)的和分別為25和100，
∴

5a1+ 5×4 2 d=25 10a1+ 10×9 2 d=100

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
b_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+1
=

1-2n

1-2

+1
=2ⁿ．
（2）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
∴T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．