Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB，G為PD中點，E在AB上，平面PEC⊥平面PCD．
（1）求證：AG⊥平面PCD；
（2）求證：AG∥平面PEC；
（3）試問在棱AD上是否存在點H，使得二面角H-PC-E的大小為60°？若存在，請確定點H的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）由AG⊥PD，CD⊥AG證明AG⊥平面PCD．（2）取PC的中點F，連接FG，EF．AG∥平面PEC；（3）取AD的中點H，連接HG，則∠HFE是二面角H-PC-E的平面角；
可證∠HFE=60°．

解答： 解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，PA=AB，
∴PA=AB=AD，
又∵G為PD中點，
∴AG⊥PD；
∵PA⊥平面ABCD；∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，
∴AG⊥平面PCD；
（2）取PC的中點F，連接FG，EF．
則GF∥AE，且GF=AE；
則四邊形AEFG是平行四邊形，
則AG∥EF，
∴AG∥平面PEC
（3）取AD的中點H，連接HG，則∠HFE是二面角H-PC-E的平面角；
則設PA=a，則
PE²=a²+（

a

2

）²，
PC=

3

a，
則EF=

PE2-( PC 2 )2

=

5a2 4 - 3a2 4

=

2 a

2

；
同理得，HF=

2 a

2

；
又∵EH=

( a 2 )2+( a 2 )2

 =

2 a

2

；
∴△EFH為等邊三角形，
則∠HFE=60°
故存在H，H是AD的中點．

點評：本題考查了線面垂直的判定，線面平行的判定，及二面角的做法，屬于中檔題．