Question

已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數，若存在實數m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），則稱h（x）為f（x）、g（x）在R上生成的函數．若f（x）=2cos²x-1，g（x）=sinx．
（1）判斷函數y=cosx是否為f（x）、g（x）在R上生成的函數，并說明理由；
（2）記l（x）為f（x）、g（x）在R上生成的一個函數，若l(

π

6

)=2，且l（x）的最大值為4，求l（x）．

Answer 1

分析：（1）假設函數y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函數，則存在實數m、n使得cosx=m（2cos²x-1）+nsinx，令x=0，得1=m+0①，令x=π，得-1=m②由①②進行推導即可判定
（2）由題意可設l（x）=a（2cos²x-1）+bsinx（a，b∈R），則由l(

π

6

)=

1

2

a+

1

2

b=2，可得a+b=4，即l（x）=-2asin²x+（4-a）sinx+a，設t=sinx，則函數l（x）可化為：y=-2at²+（4-a）t+a，t∈[-1，1]，結合函數的性質求解函數的最大值即可

解答：解：（1）函數y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函數．
理由：假設函數y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函數，
則存在實數m、n使得cosx=m（2cos²x-1）+nsinx
令x=0，得1=m+0①
令x=π，得-1=m②
由①②矛盾知：函數y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函數
（2）設l（x）=a（2cos²x-1）+bsinx（a，b∈R）
則l(

π

6

)=

1

2

a+

1

2

b=2，∴a+b=4，∴l(xiāng)（x）=-2asin²x+（4-a）sinx+a
設t=sinx，則函數l（x）可化為：y=-2at²+（4-a）t+a，t∈[-1，1]
當a=0時，函數化為：y=4t，t∈[-1，1]
∵當t=1時，y_max=4∴l(xiāng)（x）=4sinx，符合題意
當a＞0時，函數化為：y=-2a(t-

4-a

4a

)2+a+

(4-a)2

8a

當

4-a

4a

≥1時，即0＜a≤

4

5

時
∵當t=1時，y_max=4-2a
∴由4-2a=4得a=0，不符合a＞0舍去
當-1＜

4-a

4a

＜1時，即a＞

4

5

或a＜-

4

3

（舍去）時
∵當t=

4-a

4a

時，ymax=a+

(4-a)2

8a

∴由ymax=a+

(4-a)2

8a

=4，得a=4或a=

4

9

（舍去）
∴b=0∴l(xiāng)（x）=4（2cos²x-1），符合題意
當

4-a

4a

≤-1時，即-

4

3

≤a＜0時，不符合a＞0舍去
當a＜0時，函數y=-2a(t-

4-a

4a

)2+a+

(4-a)2

8a

的對稱軸t=

4-a

4a

＜0
∵當t=1時，y_max=4-2a
∴由y_max=4-2a=4得a=0，不符合a＜0舍去
綜上所述，l（x）=4sinx或l（x）=4（2cos²x-1）

點評：本題以新定義為載體，主要考查了函數性質的綜合應用，解題的關鍵是靈活利用函數的性質及邏輯推理的能力．