Question

已知正方形ABCD的中心在原點(diǎn)，四個頂點(diǎn)都在函數(shù)f（x）=ax³+bx（a＞0）圖象上．
（1）若正方形的一個頂點(diǎn)為（2，1），求a，b的值，并求出此時函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若正方形ABCD唯一確定，試求出b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先依據(jù)待定系數(shù)法求a，b的值，得函數(shù)的解析式，再求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx，則其斜率唯一確定，轉(zhuǎn)化為二元方程只有唯一實數(shù)根，利用根的判別式求解即可．
解答：解：（1）因為一個頂點(diǎn)為（2，1），
所以必有另三個頂點(diǎn)（-2，-1），（1，-2），（-1，2），
將（2，1），（1，-2）代入y=ax³+bx，得，．（4分）
所以．
因為，令f′（x）＞0，得或，
所以函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間為和．（6分）
（2）設(shè)正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx（k≠0），
則對角線BD所在的直線方程為．
由解得，
所以，
同理，，
又因為AO²=BO²，所以．（10分）
即，即．
令得t²-bt+2=0
因為正方形ABCD唯一確定，則對角線AC與BD唯一確定，于是值唯一確定，
所以關(guān)于t的方程t²-bt+2=0有且只有一個實數(shù)根，又．
所以△=b²-8=0，即．（14分）
因為，a＞0，所以b＜k；又，所以，故b＜0．
因此；
反過來時，，，
于是，；或，
于是正方形ABCD唯一確定．（16分）
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的解析式的求法以及導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．