Question

【題目】如圖，多面體中， 是正方形， 是梯形， ， ， 平面且， 分別為棱的中點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）通過證明平面，所以平面平面．（2）建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，求二面角的余弦值。

試題解析：

（Ⅰ）∵， 是正方形

∴∵分別為棱的中點∴

∵平面∴∵，

∴平面∴從而

∵， 是中點∴

∵∴平面

又平面

所以，平面平面．

（Ⅱ）由已知， 兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，設，

則， ， ， ，

∴，

平面的一個法向量為，

由得令，則

由（Ⅰ）可知平面

∴平面的一個法向量為

設平面和平面所成銳二面角為，

則

所以，平面和平面所成銳二面角的余弦值為．