Question

設(shè)整數(shù)n≥4，P（a，b） 是平面直角坐標(biāo)系xOy 中的點(diǎn)，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）記A_n 為滿足a-b=3 的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，求A_n；
（2）記B_n 為滿足

1

3

(a-b) 是整數(shù)的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，求B_n．

Answer 1

分析：（1）A_n 為滿足a-b=3 的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，顯然P（a，b）的坐標(biāo)的差值，與A_n中元素個(gè)數(shù)有關(guān)，直接寫出A_n的表達(dá)式即可．
（2）設(shè)k為正整數(shù)，記f_n（k）為滿足題設(shè)條件以及a-b=3k的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，討論f_n（k）≥1的情形，推出f_n（k）=n-3k，根據(jù)k的范圍k ≤

n-1

3

，說明n-1是3的倍數(shù)和余數(shù)，
然后求出B_n．

解答：解：（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)中，滿足條件：1≤b=a-3≤n-3，所以A_n=n-3；
（2）設(shè)k為正整數(shù)，記f_n（k）為滿足題設(shè)條件以及a-b=3k的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，只要討論f_n（k）≥1的情形，由1≤b=a-3k≤n-3k，
知f_n（k）=n-3k且k ≤

n-1

3

，設(shè)n-1=3m+r，其中m∈N⁺，r∈{0，1，2}，則k≤m，所以
B_n=

m

k=1

fn(k)=

m

k=1

(n-3k)=mn-

3m(m+1)

2

=

m(2n-3m-3)

2

將m=

n-1-r

3

代入上式，化簡得B_n=

(n-1)(n-2)

6

-

r(r-1)

6

所以B_n=

n(n-3) 6 n 3 是整數(shù) (n-1)(n-2) 6 n 3 不是整數(shù)

點(diǎn)評：本題是難題，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和的方法，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，解題中注意整除知識的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．