已知f（x）=sin2x+sin2（x-
π
12
）+sin2（x+
π
12
），△ABC中，a，b，c是A，B，C所對(duì)的邊．
（Ⅰ）若x∈[-1，1]，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若a=2
3
，B=
π
4
，f（A）=
7+
3
4
，求△ABC的面積．
考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值
分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=
3
2
-
1+
3
2
cos2x，結(jié)合x(chóng)的范圍、根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最小值．
（Ⅱ）由f（A）=
3
2
-
1+
3
2
cos2A=
7+
3
4
，求得cos2A=-
1
2
，可得A的值．再由正弦定理求得b=2
2
，再由△ABC的面積為
1
2
ab•sin（A+B），計(jì)算求得結(jié)果．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+sin2（x-
π
12
）+sin2（x+
π
12
）=
1-cos2x
2
+
1-cos(2x-
π
6
)
2
+
1-cos(2x+
π
6
)
2

=
3
2
-
1
2
（cos2x+
3
cos2x）=
3
2
-
1+
3
2
cos2x，
結(jié)合x(chóng)∈[-1，1]，可得 當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值為
2-
3
2
．
（Ⅱ）∵a=2
3
，B=
π
4
，f（A）=
3
2
-
1+
3
2
cos2A=
7+
3
4
，∴cos2A=-
1
2
，
∴2A=
2π
3
，或2A=
4π
3
，即A=
π
3
，或 A=
2π
3
．
再由正弦定理可得
a
sinA
=
b
sinB
，即
2
3
3
2
=
b
2
2
，∴b=2
2
．
當(dāng)A=
π
3
時(shí)，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
3
2
×
2
2
+
1
2
×
2
4
=
6
+
2
4
，
△ABC的面積為
1
2
ab•sinC=
1
2
•2
3
•2
2
•
6
+
2
4
=3+
3
．
當(dāng)A=
2π
3
時(shí)，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
3
2
×
2
2
-
1
2
×
2
4
=
6
-
2
4
，
△ABC的面積為
1
2
ab•sinC=
1
2
•2
3
•2
2
•
6
-
2
4
=3+
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-|x-1|   (x≤2)
-
1
4
x2+2x-3   (x＞2)
，如在區(qū)間（1，+∞）上存在n（n≥1）個(gè)不同的數(shù)x1，x2，x3，…，xn使得比值
f(x 1)
x 1
=
f(x 2)
x 2
=…
f(x n)
x n
成立，則n的取值集合是（　�。�
A、{1，2，3，4}
B、{1，2，3}
C、{2，3}
D、{2，3，4}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)（1，
3
2
）在該橢圓上．直線(xiàn)l：x=my+1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)y=kx（k＞0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，當(dāng)m=-1時(shí)，求四邊形ABCD 面積的最大值；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)MA與直線(xiàn)MB的斜率之積為定值．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)任意數(shù)列A：a1，a2，a3，…，定義△A為數(shù)列a2-a1，a3-a2，a4-a3，…，如果數(shù)列A使得△（△A）的所有項(xiàng)都是1，且a11=a101=0，試求a1的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1所示，在四棱錐A-BHCD中，AH⊥面BHCD，此棱錐的三視圖如圖2：

（1）求二面角B-AC-D的余弦值；
（2）在線(xiàn)段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成45°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=|x-a|+3x-2a-1，g（x）=3x-|x+3a-1|．
（Ⅰ）若a=-1，求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若對(duì)任意函數(shù)x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知平行四邊形ABCD中，AD=2，CD=
2
，∠ABC=45°，AE⊥BC，垂足為E，沿直線(xiàn)AE將△BAE翻拆成△B1AE，使得平面B1AE⊥平面AECD，連接B1D，P是線(xiàn)段B1D上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足
B1P
=λ
B1D
．
（Ⅰ）λ=
1
2
時(shí)，求證CP⊥平面AB1D；
（Ⅱ）若平面AB1E與平面PAC所成的二面角的余弦值為
11
11
，求AP與平面AB1E所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某水庫(kù)進(jìn)入汛期后的水位升高量h（n）（單位：標(biāo)高）與進(jìn)入訊期的天數(shù)n的關(guān)系是h（n）=20
5m2+6n
，汛期共計(jì)40天，剛進(jìn)入汛期時(shí)水庫(kù)水位為220（標(biāo)高），而水庫(kù)警戒線(xiàn)水位是400（標(biāo)高），水庫(kù)共有水閘15個(gè)，每開(kāi)啟一個(gè)泄洪，一天可使水庫(kù)的水位下降4（標(biāo)高）．
（1）若不開(kāi)啟水閘泄洪，這個(gè)汛期水庫(kù)是否有危險(xiǎn)？若有危險(xiǎn)，將發(fā)生在第幾天？
（2）若要保證水庫(kù)安全，則在進(jìn)入訊期的第一天起每天開(kāi)啟p個(gè)水閘泄洪，求p的最小值．
（參考數(shù)據(jù)：2.272≈5.15，2.312≈5.34）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知（
x
+
2
x
）n的展開(kāi)式中（只有）第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求展開(kāi)式中的第4項(xiàng)．

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