Question

甲、乙兩超市同時開業(yè)，第一年的年銷售額都為a萬元，甲超市前n（n∈N₊）年的總銷售額為

a

2

（n²-n+2）萬元；從第二年開始，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多（

2

3

）^n-1a萬元．
（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為a_n，b_n萬元，求a_n，b_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購．若今年（2014年）為第一年，問：在今后若干年內(nèi)，乙超市能否被甲超市收購？若能，請推算出在哪一年底被收購；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷售額為S_n，則S_n=

a

2

（n²-n+2）（n≥2），從而a_n=

a，n=1 (n-1)a，n≥2

，由此能求出b_n=[3-2（

2

3

）^n-1]a．（n∈N^*）．
（2）當(dāng)n=2時，a₂=a，b₂=

3

5

a，有a₂＞

1

2

b₂；n=3時，a₃=2a，b₃=

19

9

a，有a₃＞

1

2

b₃；當(dāng)n≥4時，a_n≥3a，而b_n＜3a，故乙超市有可能被甲超市收購．由此能求出2020年年底乙超市將被甲超市收購．

解答： 解：（Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷售額為S_n，
則S_n=

a

2

（n²-n+2）（n≥2），因為n=1時，a₁=a，
則n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

a

2

（n²-n+2）-

a

2

[（n-1）²-（n-1）+2]=a（n-1），
故a_n=

a，n=1 (n-1)a，n≥2

，
又b₁=a，n≥2時，b_n-b_n-1=（

2

3

）^n-1a，
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=a+

2

3

a+（

2

3

）²a+…+（

2

3

）^n-1a
=[1+

2

3

+（

2

3

）²+…+（

2

3

）^n-1]a
=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

a
=[3-2（

2

3

）^n-1]a，顯然n=1也適合，
故b_n=[3-2（

2

3

）^n-1]a．（n∈N^*）．
（2）當(dāng)n=2時，a₂=a，b₂=

3

5

a，有a₂＞

1

2

b₂；
n=3時，a₃=2a，b₃=

19

9

a，有a₃＞

1

2

b₃；
當(dāng)n≥4時，a_n≥3a，而b_n＜3a，故乙超市有可能被甲超市收購．
當(dāng)n≥4時，令

1

2

a_n＞b_n，則

1

2

（n-1）a＞[3-2（

2

3

）^n-1]a
n-1＞6-4•（

2

3

）^n-1．即n＞7-4•（

2

3

）^n-1．
又當(dāng)n≥7時，0＜4•（

2

3

）^n-1＜1，
故當(dāng)n∈N^*且n≥7時，必有n＞7-4•（

2

3

）^n-1．
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市將被甲超市收購．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查在今后若干年內(nèi)，乙超市能否被甲超市收購的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．