Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，若在（）上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析： 令， ，得，

記， ，求得導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可以求得函數(shù)極值點(diǎn)以此判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

本題不宜分離，因此作差構(gòu)造函數(shù)，利用分類(lèi)討論法求函數(shù)最小值，由于，所以討論與的大小，分三種情況，當(dāng)， 的最小值為， ， 的最小值為，當(dāng)， 的最小值為，解對(duì)應(yīng)不等式即可。

解析：（1）令， ，得.

記， ，則，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

由此可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

且， .

又，

故當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn).　

當(dāng)或時(shí)， 在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）在區(qū)間（）上存在一點(diǎn)，使得成立等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零.

.

①當(dāng)，即時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最小值為，

由，可得，

∵，∴.

②當(dāng)，即時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為，

由，可得.　

③當(dāng)，即時(shí)，可得的最小值為，

∵，∴， ，

此時(shí)不成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.