Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，則稱f（x）為單一函數(shù)．如f（x）=2x+1（x∈R）是單一函數(shù)，下列命題正確的是

 

．（寫出所有正確答案）
①函數(shù)f（x）=|x-1|（x∈R）是單一函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=ln（x-1）（x＞1）是單一函數(shù)；
③若f（x）為單一函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）=f（x₂）；
④在定義域上是單一函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由f（x）=1時(shí)，有x=0或x=2說(shuō)明①錯(cuò)誤；利用單一函數(shù)的概念證明②正確；
函數(shù)f（x）為單一函數(shù)，則f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，即x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）說(shuō)明③錯(cuò)誤；
舉例說(shuō)明④錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=|x-1|（x∈R），當(dāng)f（x）=1時(shí)，有x=0或x=2，∴函數(shù)f（x）=|x-1|（x∈R）不是單一函數(shù)，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于函數(shù)f（x）=ln（x-1）（x＞1），設(shè)x₁＞1，x₂＞1，若ln（x₁-1）=ln（x₂-1），則x₁-1=x₂-1，
∴x₁=x₂，函數(shù)是單一函數(shù)，命題②正確；
若f（x）為單一函數(shù)，則f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，即x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），③命題錯(cuò)誤；
函數(shù)f(x)=

1

x

在其定義域內(nèi)為單一函數(shù)，但不是單調(diào)函數(shù)，命題④錯(cuò)誤．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，主要考查函數(shù)的性質(zhì)的推導(dǎo)和判斷，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力，是中檔題．