Question

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．
（1）若橢圓C₁過點(diǎn)（，0）和（0，2），求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試判斷命題“若橢圓C₂：x²+y²=1（在橢圓C₁內(nèi)）任意一條切線都與橢圓C₁交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)總與坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的橢圓C₁恒過定點(diǎn)”的真假．若命題為真命題，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若為假命題，說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?＞，所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上
所以橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）命題“若橢圓C₂：x²+y²=1（在橢圓C₁內(nèi)）任意一條切線都與橢圓C₁交于兩點(diǎn)，
且這兩點(diǎn)總與坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的橢圓C₁恒過定點(diǎn)”的真命題．
設(shè)橢圓C₁：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），設(shè)P（s，t）為圓C₂上任意一點(diǎn)，
則過點(diǎn)P的圓C₂的切線方程為sx+ty=1
因?yàn)闄E圓C₂：x²+y²=1（在橢圓C₁內(nèi)）任意一條切線都與橢圓C₁交于兩點(diǎn)A、B，不妨設(shè)t≠0
由得（mt²+ns²）x²﹣2nsx+n﹣t²=0
∵OA⊥OB，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，
∴m+n﹣1=0
所以滿足橢圓的方程mx²+（1﹣m）y²=1（0＜m＜1且m≠）
即m（x²﹣y²）+y²﹣1=0對任意0＜m＜1且m≠均成立
所以即x₂=y₂=1
所以，滿足條件的橢圓C₁恒過定點(diǎn)（1，1），（﹣1，1），（1，﹣1），（﹣1，﹣1）