Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，四邊形ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CB=a，∠ACB=

π

2

．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）若M是棱EF上一點，AM∥平面BDF，求EM的長．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明：BC⊥平面ACFE；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理，確定EM的長度，然后根據(jù)AM∥平面BDF的判定定理即可得到結(jié)論．

解答： （1）證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ACB=

π

2

．
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACFE
（2）解：當(dāng)EM=

3

3

a時，AM∥平面BDF；
在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD=N，連接FN，則CN：NA=1：2，AD=DC=CB=a，AB∥CD，
所以∠ACD=∠CAB=∠DAC，
所以∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+∠ACB=3∠DAC+

π

2

=π，
所以∠DAC=

π

6

，即∠CBN=

π

6

．
又∠ACB=

π

2

，CB=a，
所以CN=

3

3

a，
連接FN，由AM∥平面BDF得AM∥FN，
因為四邊形ACFE是矩形，所以EM=CN=

3

3

a．

點評：本題考查了空間幾何體中線面關(guān)系的判斷及證明；關(guān)鍵是熟練判定定理及性質(zhì)定理．