Question

12．在如圖所示的四棱錐S-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，SA=AB=BC=1，AD=3．
（1）在棱SA上確定一點(diǎn)M，使得BM∥平面SCD，保留作圖痕跡，并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)SA⊥平面ABCD且點(diǎn)E為線段BS的三等分點(diǎn)（靠近B）時(shí)，求三棱錐S-AEC的體積．

Answer 1

分析 （1）M滿足$\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}$．
證法一：取SA，SD上的點(diǎn)M，N，使得$\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$，連結(jié)BM，MN，NC．推導(dǎo)出四邊形MNCB為平行四邊形，從而BM∥CN，由此能證明BM∥平面SCD．
證法二：取AS，AD上的點(diǎn)M，N，使得$\frac{AM}{AS}=\frac{AN}{AD}=\frac{2}{3}$，連結(jié)BM，MN，BN，推導(dǎo)出平面MNB∥平面SCD，由此能證明BM∥平面SCD．
（2）由V_S-AEC=V_C-SAE，能求出三棱錐S-AEC的體積．

解答 解：（1）M滿足$\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}$．…（1分）
證明如下：取SA，SD上的點(diǎn)M，N，使得$\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$…（2分）
連結(jié)BM，MN，NC．
在△SAD中，$\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$，則MN∥AD，且$\frac{MN}{AD}=\frac{1}{3}$
又由已知可得BC∥AD，且$\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}$，所以BC∥MN且BC=MN，即四邊形MNCB為平行四邊形．…
故BM∥CN．又CN?平面SCD，BM?平面SCD．所以BM∥平面SCD．…（6分）
證法二：取AS，AD上的點(diǎn)M，N，使得$\frac{AM}{AS}=\frac{AN}{AD}=\frac{2}{3}$…（2分）    
 連結(jié)BM，MN，BN．
在△SAD中，$\frac{AM}{AS}=\frac{AN}{AD}=\frac{2}{3}$，所以MN∥SD…（3分）
在四邊形BCDN中，BC=DN，BC∥DN，
所以四邊形為平行四邊形，則BN∥CD…（4分）
又MN∥SD，MN∩BN=N，SD∩CD=D，所以平面MNB∥平面SCD，…（5分）
又BM?平面MNB，所以BM∥平面SCD．…（6分）
解：（2）∵SA⊥底面ABCD，所以SA⊥BC，又已知∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又SA∩AB=A，所以BC⊥平面SAC…
由Rt△SAB及$BE=\frac{1}{3}BS$可得${S_{△SAE}}=\frac{2}{3}{S_{△SAB}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{3}$…
所以三棱錐S-AEC的體積${V_{S-AEC}}={V_{C-SAE}}=\frac{1}{3}×{S_{△SAE}}×BC=\frac{1}{9}$…（12分）（換底過程1分）

點(diǎn)評 本題考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定與證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．