選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點E，D，連接EC，CD．

（I）試判斷直線AB與⊙O的位置關系，并加以證明；
（II）若tanE=數(shù)學公式，⊙O的半徑為3，求OA的長．


解：（I）證明：如圖，連接OC．
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∴OC⊥AB．
∴AB是圓O的切線；（3分）
（II）由ED為圓O的直徑，得到∠ECD=90°，
在直角三角形中，
根據(jù)三角函數(shù)定義得：tanE==．
∵∠B=∠B，∠BCD=∠E，
∴△BCD∽△BEC，
∴==．
設BD=x，則BC=2x．（6分）又BC2=BD•BE，
∴（2x）2=x（x+6）．（8分）
解得x1=0，x2=2．
由BD=x＞0，∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．（12分）
分析：（I）連接OC，由已知的OA與OB相等，CA與CB相等，OC為公共邊，得到三角形AOC與三角形BOC全等，進而得到∠OAC與∠OCB相等，都為90°，即OC與AB垂直，故AB與圓O相切；
（II） 在直角三角形ACD中，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°，得到三角形ECD為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)定義表示出tanE，即可得到CD與EC的比值，根據(jù)∠B為公共角，圓的弦切角等于所夾弧所對的圓周角，得到一對角相等，根據(jù)兩對角相等的兩三角形相似，由相似得出比例式，且相似比等于所求的比，設出BD=x，BC=2x，又根據(jù)相似得比例表示出BC的平方，把設出的BD和BC代入即可列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為BD的長，由OA=OB=OD+DB即可求出OA的長．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及相似三角形的判定與性質(zhì)．其中證明切線的方法有兩種：1、有點連接此點與圓心，證明夾角為直角；2、無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑．要求學生掌握圓的一些性質(zhì)，利用方程的思想解決數(shù)學問題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點H，HB=2．
（1）求DE的長；
（2）延長ED到P，過P作圓O的切線，切點為C，若PC=2
5
，求PD的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點A，D為PA的中點，
過點D引割線交⊙O于B，C兩點，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=
1-x
+
4+2x
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過圓上O的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=
12
，圓O的半徑為3，求OA的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南京二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使得CD=AC，連結(jié)AD交圓O于點E，連結(jié)BE與AC交于點F，求證：AE2=EF•BE．

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