解:(I)證明:如圖,連接OC.
∵OA=OB,CA=CB,OC=OC,
∴△AOC≌△BOC,
∴∠OCA=∠OCB=90°,
∴OC⊥AB.
∴AB是圓O的切線;(3分)
(II)由ED為圓O的直徑,得到∠ECD=90°,
在直角三角形中,
根據(jù)三角函數(shù)定義得:tanE=
=
.
∵∠B=∠B,∠BCD=∠E,
∴△BCD∽△BEC,
∴
=
=
.
設BD=x,則BC=2x.(6分)又BC
2=BD•BE,
∴(2x)
2=x(x+6).(8分)
解得x
1=0,x
2=2.
由BD=x>0,∴BD=2.
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5.(12分)
分析:(I)連接OC,由已知的OA與OB相等,CA與CB相等,OC為公共邊,得到三角形AOC與三角形BOC全等,進而得到∠OAC與∠OCB相等,都為90°,即OC與AB垂直,故AB與圓O相切;
(II) 在直角三角形ACD中,根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°,得到三角形ECD為直角三角形,根據(jù)三角函數(shù)定義表示出tanE,即可得到CD與EC的比值,根據(jù)∠B為公共角,圓的弦切角等于所夾弧所對的圓周角,得到一對角相等,根據(jù)兩對角相等的兩三角形相似,由相似得出比例式,且相似比等于所求的比,設出BD=x,BC=2x,又根據(jù)相似得比例表示出BC的平方,把設出的BD和BC代入即可列出關于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,即為BD的長,由OA=OB=OD+DB即可求出OA的長.
點評:此題考查了直線與圓的位置關系,以及相似三角形的判定與性質(zhì).其中證明切線的方法有兩種:1、有點連接此點與圓心,證明夾角為直角;2、無點作垂線,證明垂線段等于圓的半徑.要求學生掌握圓的一些性質(zhì),利用方程的思想解決數(shù)學問題.