Question

【題目】（分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于、兩點(diǎn)．

（）求橢圓的離心率．

（）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

（）設(shè)線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交橢圓交于、兩點(diǎn)，是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 存在直線，使得．

【解析】

試題分析：（1）將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b，c，進(jìn)而得到離心率；（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，即為x=﹣1，代入橢圓方程，求得縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到弦長(zhǎng)；（3）設(shè)直線AB：x=my﹣1，代入橢圓方程，可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得m，進(jìn)而判斷存在這樣是直線l．

解析：

（）橢圓，

即為，可得，，，

故橢圓的離心率．

（）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，即為，代入橢圓方程可得，，

故線段的長(zhǎng)為．

（）由，設(shè)直線，代入橢圓方程得，

設(shè)，，則，

即有中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線，代入橢圓方程可得：，

可設(shè)，，

假設(shè)存在直線使得，

即有，

則，解得，

故存在直線，使得．