Question

過(guò)圓C：（x-1）²+（y-1）²=1的圓心，作直線分別交x，y正半軸于點(diǎn)A、B，△AOB被圓分成I、II、III、IV四個(gè)部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足①S_I+S_IV=S_II+S_III，②S_I+S_II+S_III=S_IV，則分別滿足①、②的直線AB各有（　　）

A、1條；2條

B、1條；無(wú)數(shù)條

C、2條；2條

D、3條；1條

Answer 1

分析：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)四部分圖形面積滿足①S_|+S_IV=S_||+S_|||，得到S_IV-S_II=S_Ⅲ-S_I，第II，IV部分的面積是定值，所以S_Ⅲ-S_I為定值，所以得到滿足①條件的直線有且僅有一條；把條件②S_I+S_II+S_III=S_IV變形為S_IV-S_II=S_I+S_III，第II，IV部分的面積是定值，得到S_I+S_III為定值，并求出此定值，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)出直線AB的斜率為k，根據(jù)直線AB過(guò)C點(diǎn)，寫(xiě)出直線AB的方程，分別令x=0和y=0求出對(duì)應(yīng)的y值與x值，得到A與B的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出OA與OB的長(zhǎng)，由四邊形CEOF為邊長(zhǎng)為1的正方形，得到OE=OF=1，進(jìn)而表示出BE及AF，表示出三角形BCE與三角形ACF的面積，又把扇形CEM與扇形CFN旋轉(zhuǎn)為一個(gè)大扇形，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到大扇形的圓心角為直角，半徑為1，求出此時(shí)大扇形的面積，用三角形BCE與三角形ACF的面積之和減去大扇形的面積即為S_I+S_III，等于求出的定值，列出關(guān)于k的方程，整理后根據(jù)根的判別式大于0，得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而確定出滿足題意的直線AB有兩條，綜上，得到分別滿足①、②的直線AB的條數(shù)．

解答：
解：∵圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圓心C坐標(biāo)為（1，1），半徑r=1，
可得圓C與x軸及y軸相切，切點(diǎn)分別為E和F，連接CE及CF，
由已知S_I+S_IV=S_II+S_III，變形得：S_IV-S_II=S_Ⅲ-S_I，
由圖形可知第II，IV部分的面積分別為：
S_{正方形OECF}-S_扇形ECF=1-

π

4

和S_半圓=

π

2

，
所以，S_IV-S_II為定值，即S_Ⅲ-S_I為定值，
當(dāng)直線AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，
只可能有一個(gè)位置符合題意，即直線AB只有1條，
則滿足條件①的直線AB有1條；
由第II，IV部分的面積分別為：
S_{正方形OECF}-S_扇形ECF=1-

π

4

和S_半圓=

π

2

，
由已知S_I+S_II+S_III=S_IV，變?yōu)榈茫篠_IV-S_II=S_I+S_III=

3π

4

-1，
顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k，由直線AB過(guò)C（1，1），
∴直線AB的方程為：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，
令x=0，解得y=1-k，故OB=1-k，
令y=0，解得x=

k-1

k

，故OA=

k-1

k

，
S_I+S_III=（S_△BCE+S_△ACF）-（S_扇形MEC+S_扇形NCF）=

1

2

BE•CE+

1

2

AF•CF-

90π

360

=

1

2

（1-k-1）+

1

2

（1-

1

k

-1）-

π

4

=

1

2

（-k-

1

k

）-

π

4

=

3π

4

-1，
整理得：2k²+（4π-4）k+2=0，
∵△=（4π-4）²-16=16π²-32π＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
即滿足題意的k值有兩解，
則滿足條件②的直線AB有2條，
綜上，分別滿足①、②的直線AB各有1條；2條．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：扇形面積的求法，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，陰影部分面積的求法，以及利用根的判別式判斷一元二次方程解的情況，利用了轉(zhuǎn)化的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．