Question

6．已知焦點在x軸上的橢圓C為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓C的左、右焦點，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點Q的坐標為（1，0），橢圓上是否存在一點P，使得直線PF₁，PF₂都與以Q為圓心的一個圓相切？若存在，求出P點坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓C為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1焦點在x軸上，a=2$\sqrt{2}$，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：c=2．則b²=a²-c²=4即可求得橢圓C的方程；
（2）假設存在滿足條件的點P，設出其坐標，根據(jù)兩點式寫出直線PF₁，PF₂的方程，根據(jù)圓的切線滿足圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式列出有關(guān)點P的坐標的方程，再利用點P的坐標滿足橢圓的方程，解方程組求得點P的坐標．

解答 解：（1）由題可知：橢圓C為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1焦點在x軸上，a=2$\sqrt{2}$，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：c=2．
∴b²=a²-c²=4．
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（4分）
（2）假設橢圓上存在一點P（x₀，y₀），
使得直線PF₁，PF₂都與以Q為圓心的一個圓相切，則Q到直線PF₁，PF₂的距離相等．
∵F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴直線PF₁的方程為（x₀+2）y-y₀x-2y₀=0，
直線PF₂的方程為（x₀-2）y-y₀x+2y₀=0．…（6分）
∴d₁=$\frac{丨{y}_{0}丨}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=$\frac{丨3{y}_{0}丨}{\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=d₂，
化簡整理得：8x₀²-40x₀+32+8y₀²=0．…（9分）
∵點在橢圓上，
∴x₀²+2y₀²=8
由以上兩式解得：x₀=2或x₀=8（舍去），
∴y₀=$\sqrt{2}$或y₀=-$\sqrt{2}$，此時相切的圓的半徑r=1．…（11分）
∴橢圓上存在點P，其坐標為（2，$\sqrt{2}$）或（2，-$\sqrt{2}$），
使得直線PF₁，PF₂都與以Q為圓心的圓（x-1）²+y²=1相切．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．