Question

16．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}x$．
（Ⅰ）求f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當x＞1時，$f（x）+\frac{a}{x}＜0$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當n∈N^*且n≥2時，$\frac{1}{2ln2}+\frac{1}{3ln3}+…+\frac{1}{nlnn}＞\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，求出切線斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；
（Ⅱ）當x＞1時，f（x）+$\frac{a}{x}$＜0恒成立，等價于k＜$\frac{1}{2}$x²-xlnx，構造函數(shù)，求最值，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）證明$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$，把x=1，2，…n分別代入上面不等式，并相加得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$，
f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，
切點為（1，-$\frac{1}{2}$），
f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1），
即為x-2y-2=0；
（Ⅱ）當x＞1時，f（x）+$\frac{a}{x}$＜0恒成立，等價于k＜$\frac{1}{2}$x²-xlnx，
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx，則g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=$\frac{x-1}{x}$．
當x＞1時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故h（x）＞h（1）=0，
從而，當x＞1時，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故g（x）＞g（1）=$\frac{1}{2}$．
∴k≤$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）得，當x＞1時，lnx-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$＜0，
可化為xlnx＜$\frac{{x}^{2}-1}{2}$，
又xlnx＞0，
從而，$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$．
把x=2，…n分別代入上面不等式，并相加得，
$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2{n}^{2}+2n}$．

點評 本題屬導數(shù)的綜合應用題，考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程，會利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查不等式的證明，有難度．