Question

已知函數(shù)f（x）=|2^x-1-1|（x∈R）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，并指出函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上的單調(diào)性．
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求mn關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）求mn的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用單調(diào)性的定義證明即可；
（2）易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側(cè)，由m＜n，得m＜1＜n，故2^m-1-1＜0，2^n-1-1＞0，易得mn的表達(dá)式，解之即可；
（3）分兩種情況，當(dāng)0＜t＜

1

2

時(shí)，當(dāng)

1

2

＜t＜1時(shí)，再由基本不等式可得．

解答： 解：（1）證明：任取x₁∈（1，+∞），x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=|2x1-1-1|-|2x2-1-1|=(2x1-1-1)-(2x2-1-1)=

1

2

(2x1-2x2)，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上為減函數(shù)．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為（0，+∞），在區(qū)間（-∞，1）上為減函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為（0，1），由題意函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故有t∈（0，1），
易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側(cè)，由m＜n，得m＜1＜n，故2^m-1-1＜0，2^n-1-1＞0，
又A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程t=|2^x-1-1|，故得t=1-2^m-1，t=2^n-1-1，
即m=log₂（2-2t），n=log₂（2+2t），
故mn=log₂（2-2t）•log₂（2+2t）．

（3）當(dāng)0＜t＜

1

2

時(shí)，0＜m＜1，1＜n＜log₂3，故0＜mn＜log₂3，
又mn≤

(m+n)2

4

=

1

4

[log2(4-4t2)]2＜

1

4

(log24)2=1，因此0＜mn＜1；
當(dāng)

1

2

＜t＜1時(shí)，m＜0，0＜log₂3＜n＜2，從而mn＜0； 
綜上所述，mn的取值范圍為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算要細(xì)心．