Question

8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosA•cosC-cos（A+C）=sin²B．
（Ⅰ）證明：a，b，c成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若角B的平分線BD交AC于點D，且b=6，S_△BAD=2S_△BCD，求BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sinAsinC=sin²B，由正弦定理可得：b²=ac，即可得證．
（Ⅱ）由已知可得：AD+CD=6，由三角形面積公式可得AD=2CD，從而可求AD=4，CD=2，由（Ⅰ）可得：b²=36，利用角平分線的性質(zhì)可得AB=2BC，即c=2a，從而可求a，c的值，進而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）證明：∵cosA•cosC-cos（A+C）=sin²B．
∴cosA•cosC-（cosAcosC-sinAsinC）=sin²B，可得：sinAsinC=sin²B，
∴由正弦定理可得：b²=ac，
∴a，b，c成等比數(shù)列；
（Ⅱ）如圖，∵角B的平分線BD交AC于點D，且b=6，可得：AD+CD=6，
∵S_△BAD=2S_△BCD，可得：AD=2CD，
∴解得：AD=4，CD=2，
∵由（Ⅰ）可得：b²=ac=36，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AD}{DC}=\frac{4}{2}$，可得：AB=2BC，即c=2a，
∴解得：a=3$\sqrt{2}$，c=6$\sqrt{2}$，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
∴BD=$\sqrt{{c}^{2}+A{D}^{2}-2c•AD•cosA}$=2$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了兩角和的余弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形面積公式，角平分線的性質(zhì)，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．